Pour améliorer ses mathématiques :
La règle de trois
En mathématiques élémentaires, la règle de trois ou règle de proportionnalité est une méthode mathématique permettant de déterminer une quatrième proportionnelle. Plus précisément, trois nombres a, b, et c étant donnés, la règle de trois permet, à partir de l'égalité des produits en croix, de trouver le nombre d tel que (a, b) soit proportionnel à (c, d). Ce nombre d vaut : d = b x c
a
Elle tire son nom de la présence d'une opération impliquant trois nombres (a, b et c).
La règle de trois est un outil fondamental dans les problèmes de proportionnalité, comme les distances parcourues à vitesse constante en fonction du temps, le prix à payer en fonction du poids en économie domestique ou les problèmes de dosage en technique de laboratoire. Elle se retrouve notamment dans le calcul de pourcentages, dans la résolution de problèmes de conversion d’unités, en application du théorème de Thalès ou encore dans la caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs du plan à l’aide de leurs coordonnées.
La manière de présenter la règle de trois et la place qui lui est accordée dans l'enseignement français ont varié selon les époques. La question soulevée par son apprentissage est un point de discorde entre les tenants d'un enseignement fournissant des recettes efficaces et les tenants d'un enseignement présentant un savoir intelligible en construction.
Présentations de la règle
La règle de trois s'utilise quand il existe de manière évidente une proportionnalité entre deux variables comme le prix à payer en fonction de la quantité achetée en économie ou les relations entre les distances sur la carte et les distances sur le terrain dans des problèmes d'échelles. Ainsi les trois problèmes suivants peuvent se résoudre par une règle de trois.
La manière de justifier cette procédure, fondamentale pour la compréhension des mathématiques, n'est pas unique et a varié au cours du temps.
Produits en croix
C’est sous cette forme qu’elle est souvent maintenant présentée en France. Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, le produit des termes situés dans une diagonale est égal au produit des termes situés dans l'autre diagonale. Ce résultat est connu depuis au moins Euclide sous le nom d'égalité du produit des extrêmes et du produit des moyens (dans une lecture de gauche à droite et de haut en bas).
Pour résoudre les problèmes précédents, il suffit alors de construire un tableau de proportionnalité incomplet :
Masse en kg Prix en €
2 10
1,5 x
ou
carte :
distances en 2 | 12,2
cm
Terrain :
distances en 15 | ?
km
Les produits en croix permettent d'écrire les équations suivantes et de trouver leurs solutions
Le résultat final s’obtient donc en effectuant le produit des deux termes d’une diagonale et en divisant par le terme restant.
Réduction à l'unité
Cette méthode met en place un discours plus explicatif permettant d'élucider la règle de trois pour la remplacer par une "règle de six". Elle consiste à utiliser une étape intermédiaire en passant par l'unité.
Pour le problème 1
Pour le problème 2
Pour le problème 3
Elle fut enseignée sous cette forme dans les écoles françaises à différentes époques
Coefficient de proportionnalité
La méthode du coefficient de proportionnalité utilise une propriété voisine des tableaux de proportionnalité : dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre (ou d'une colonne à l'autre) en multipliant par un coefficient constant appelé le coefficient de proportionnalité qui doit rester sous une forme exacte, éventuellement fractionnaire.
Ainsi le problème 1 fournit le tableau
Masse en kg Prix en €
2 10
1,5 x
Le coefficient de proportionnalité pour passer de la première colonne à la seconde colonne est de 5 ou 10 car 10 = 5 X 2. C'est ce même coefficient de
2
proportionnalité qui permet de passer de 1,5 au nombre cherché . Le nombre cherché est donc 5 X 1,5.
De même le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à le seconde ligne est de 1,5 car 1,5 = 1,5 X 2. C'est ce même coefficient de
2 2
proportionnalité qui permet de passer de 10 au nombre cherché. Le nombre cherché est donc 1,5 X 10.
2
Rôle de la proportionnalité
L'utilisation d'une règle de trois suppose que soit établie l'existence d'une proportionnalité entre les quantités en présence. Les IUFM soulèvent cet écueil : la règle de trois ne peut pas précéder la notion de proportionnalité.
Remplir un tableau à quatre cases ne garantit pas l'existence d'une proportionnalité et peut conduire à des contresens comme celui-ci
nombre d'ouvriers 4 6
Temps en jours 9 ?
Mais il est nécessaire de vérifier la proportionnalité avant de tenter d'appliquer la règle de trois. Ici la vérification consiste seulement à se demander « si on double le nombre d'ouvriers le temps de travail va-t-il doubler ? ». Normalement, la réaction de bon sens consiste à répondre non et la règle de trois ne s'applique pas de manière directe (voir règle de trois inverse).
François Drouin souligne la rareté des phénomènes de proportionnalité et évoque le fait que, même en économie domestique, il n'y a pas toujours proportionnalité entre la quantité achetée et le prix payé. La précision, « à vitesse constante », « à prix unitaire constant », « à débit constant », est souvent un non-dit de l'énoncé. Déjà au xviiie siècle, Diderot et d'Alembert dans leur encyclopédie, pointaient du doigt cette contrainte, signalant qu'il ne leur semblait pas raisonnable d'imaginer qu'une citerne puisse se vider à débit constant et qu'il est donc peu réaliste de considérer que le temps nécessaire à vider une citerne soit proportionnel au volume d'eau qu'elle contient.
Le tableau de proportionnalité, construit avec plus de quatre cases, permet en outre de développer d'autres techniques pour déterminer une quatrième proportionnelle. Ainsi pour le problème 1, on peut observer qu'en prenant 4 fois moins de fruits, on doit payer quatre fois moins d'euros. On construit donc le tableau intermédiaire :
Masse en kg Prix en €
2 10
0,5 2,5
Les propriétés sur les tableaux de proportionnalité permettent de dire que l'on peut créer une nouvelle ligne en sommant ou retranchant deux lignes. On peut ainsi créer la ligne solution du problème par soustraction des deux lignes précédentes:
Masse en kg Prix en €
2 10
0,5 2,5
2 - 0,5 = 1,5 10 - 2,5 = 7,5
Le cas des nombres entiers
La règle de trois s'applique pour des quantités portionnables, nombres décimaux, fractionnaires ou réels. Il est difficile de l'utiliser lorsqu'une des quantités ne peut pas se diviser : nombre de pots de peinture nécessaire pour peindre les murs d'une pièce, nombre d'objets que l'on peut acheter avec une quantité d'argent donnée. Le résultat à fournir étant un nombre entier d'objets ou de pots, il s'agit d'arrondir le nombre, obtenu par l'application de la règle de trois, par excès ou par défaut selon la logique du problème.
Il peut aussi arriver que les deux quantités soient des entiers. Alors la règle de proportionnalité n'est pas vérifiée. Ainsi le problème
qui, même arrondi à 177, n'aurait pas donné le bon nombre de colliers.
a
Elle tire son nom de la présence d'une opération impliquant trois nombres (a, b et c).
La règle de trois est un outil fondamental dans les problèmes de proportionnalité, comme les distances parcourues à vitesse constante en fonction du temps, le prix à payer en fonction du poids en économie domestique ou les problèmes de dosage en technique de laboratoire. Elle se retrouve notamment dans le calcul de pourcentages, dans la résolution de problèmes de conversion d’unités, en application du théorème de Thalès ou encore dans la caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs du plan à l’aide de leurs coordonnées.
La manière de présenter la règle de trois et la place qui lui est accordée dans l'enseignement français ont varié selon les époques. La question soulevée par son apprentissage est un point de discorde entre les tenants d'un enseignement fournissant des recettes efficaces et les tenants d'un enseignement présentant un savoir intelligible en construction.
Présentations de la règle
La règle de trois s'utilise quand il existe de manière évidente une proportionnalité entre deux variables comme le prix à payer en fonction de la quantité achetée en économie ou les relations entre les distances sur la carte et les distances sur le terrain dans des problèmes d'échelles. Ainsi les trois problèmes suivants peuvent se résoudre par une règle de trois.
- Problème 1: Si deux kilogrammes de fruits coûtent 10 euros, combien coûteraient 1,5 kilogramme de ces mêmes fruits ?
- Problème 2 : On dispose d’un plan dont l’échelle indique que 2 cm sur la carte représentent 15 km sur le terrain. On sait que, sur la carte, la distance entre deux villes est de 12,2 cm. On cherche à déterminer la distance à vol d'oiseau entre ces deux villes.
- Problème 3: Si dix objets identiques coûtent 22 euros, combien coûtent quinze de ces objets ?
- Solution au problème 1 : le prix à payer pour 1,5 kg de fruits est de 1,5 X 10 = 7,5 euros.
- Solution au problème 2 : la distance à vol d'oiseau entre les deux villes est de 12,2 X 15 = 91,5 km.
- Solution au problème 3 : le prix à payer pour 15 objets est de 15 X 22 = 33 euros.
La manière de justifier cette procédure, fondamentale pour la compréhension des mathématiques, n'est pas unique et a varié au cours du temps.
Produits en croix
C’est sous cette forme qu’elle est souvent maintenant présentée en France. Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, le produit des termes situés dans une diagonale est égal au produit des termes situés dans l'autre diagonale. Ce résultat est connu depuis au moins Euclide sous le nom d'égalité du produit des extrêmes et du produit des moyens (dans une lecture de gauche à droite et de haut en bas).
Pour résoudre les problèmes précédents, il suffit alors de construire un tableau de proportionnalité incomplet :
Masse en kg Prix en €
2 10
1,5 x
ou
carte :
distances en 2 | 12,2
cm
Terrain :
distances en 15 | ?
km
Les produits en croix permettent d'écrire les équations suivantes et de trouver leurs solutions
- dans le premier tableau : 1,5 X 10 = 2 X x donc x = 1,5 X 10
- dans le second tableau : donc 12,2 X 15 = 2 X ? donc ? = 12,2 X 15
Le résultat final s’obtient donc en effectuant le produit des deux termes d’une diagonale et en divisant par le terme restant.
Réduction à l'unité
Cette méthode met en place un discours plus explicatif permettant d'élucider la règle de trois pour la remplacer par une "règle de six". Elle consiste à utiliser une étape intermédiaire en passant par l'unité.
Pour le problème 1
- Pour acheter 2 kg de fruits il faut 10 euros;
- Pour acheter 1 kg de fruits, il faut deux fois moins d'euros soit 10 euros;
- Pour acheter 1,5 kg de fruits, il faut 1,5 fois plus d'euros soit 10 X 1,5 euros.
Pour le problème 2
- 2 cm sur la carte représentent 15 km sur le terrain;
- 1 cm sur la carte représente deux fois moins de km sur le terrain c'est-à-dire 15 km;
- 12,2 cm sur la carte représentent 12,2 fois plus de km, soit 15 X 12,2 km.
Pour le problème 3
- 10 objets coûtent 22 euros ;
- 1 objet coûte dix fois moins, c'est-à-dire 2,20 euros;
- 15 objets coûtent 15 fois plus, soit 2,20 X 15 = 33 euros.
Elle fut enseignée sous cette forme dans les écoles françaises à différentes époques
Coefficient de proportionnalité
La méthode du coefficient de proportionnalité utilise une propriété voisine des tableaux de proportionnalité : dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre (ou d'une colonne à l'autre) en multipliant par un coefficient constant appelé le coefficient de proportionnalité qui doit rester sous une forme exacte, éventuellement fractionnaire.
Ainsi le problème 1 fournit le tableau
Masse en kg Prix en €
2 10
1,5 x
Le coefficient de proportionnalité pour passer de la première colonne à la seconde colonne est de 5 ou 10 car 10 = 5 X 2. C'est ce même coefficient de
2
proportionnalité qui permet de passer de 1,5 au nombre cherché . Le nombre cherché est donc 5 X 1,5.
De même le coefficient de proportionnalité pour passer de la première ligne à le seconde ligne est de 1,5 car 1,5 = 1,5 X 2. C'est ce même coefficient de
2 2
proportionnalité qui permet de passer de 10 au nombre cherché. Le nombre cherché est donc 1,5 X 10.
2
Rôle de la proportionnalité
L'utilisation d'une règle de trois suppose que soit établie l'existence d'une proportionnalité entre les quantités en présence. Les IUFM soulèvent cet écueil : la règle de trois ne peut pas précéder la notion de proportionnalité.
Remplir un tableau à quatre cases ne garantit pas l'existence d'une proportionnalité et peut conduire à des contresens comme celui-ci
- Problème 3 : si 4 ouvriers font un travail en 9 jours, combien mettront 6 ouvriers pour effectuer le même travail ?
nombre d'ouvriers 4 6
Temps en jours 9 ?
Mais il est nécessaire de vérifier la proportionnalité avant de tenter d'appliquer la règle de trois. Ici la vérification consiste seulement à se demander « si on double le nombre d'ouvriers le temps de travail va-t-il doubler ? ». Normalement, la réaction de bon sens consiste à répondre non et la règle de trois ne s'applique pas de manière directe (voir règle de trois inverse).
François Drouin souligne la rareté des phénomènes de proportionnalité et évoque le fait que, même en économie domestique, il n'y a pas toujours proportionnalité entre la quantité achetée et le prix payé. La précision, « à vitesse constante », « à prix unitaire constant », « à débit constant », est souvent un non-dit de l'énoncé. Déjà au xviiie siècle, Diderot et d'Alembert dans leur encyclopédie, pointaient du doigt cette contrainte, signalant qu'il ne leur semblait pas raisonnable d'imaginer qu'une citerne puisse se vider à débit constant et qu'il est donc peu réaliste de considérer que le temps nécessaire à vider une citerne soit proportionnel au volume d'eau qu'elle contient.
Le tableau de proportionnalité, construit avec plus de quatre cases, permet en outre de développer d'autres techniques pour déterminer une quatrième proportionnelle. Ainsi pour le problème 1, on peut observer qu'en prenant 4 fois moins de fruits, on doit payer quatre fois moins d'euros. On construit donc le tableau intermédiaire :
Masse en kg Prix en €
2 10
0,5 2,5
Les propriétés sur les tableaux de proportionnalité permettent de dire que l'on peut créer une nouvelle ligne en sommant ou retranchant deux lignes. On peut ainsi créer la ligne solution du problème par soustraction des deux lignes précédentes:
Masse en kg Prix en €
2 10
0,5 2,5
2 - 0,5 = 1,5 10 - 2,5 = 7,5
Le cas des nombres entiers
La règle de trois s'applique pour des quantités portionnables, nombres décimaux, fractionnaires ou réels. Il est difficile de l'utiliser lorsqu'une des quantités ne peut pas se diviser : nombre de pots de peinture nécessaire pour peindre les murs d'une pièce, nombre d'objets que l'on peut acheter avec une quantité d'argent donnée. Le résultat à fournir étant un nombre entier d'objets ou de pots, il s'agit d'arrondir le nombre, obtenu par l'application de la règle de trois, par excès ou par défaut selon la logique du problème.
Il peut aussi arriver que les deux quantités soient des entiers. Alors la règle de proportionnalité n'est pas vérifiée. Ainsi le problème
- Problème : Si avec 560 perles, on peut faire 11 colliers de même taille, avec 9000 perles, combien peut-on faire de colliers de cette taille ?
- Si avec 560 perles, on peut faire 11 colliers, combien de perles contient chaque collier?
- 560 = 11 × 50 + 10
- Chaque collier contient 50 perles
- Avec 9000 perles, combien peut-on faire de colliers de 50 perles ?
- 9000= 50 × 180
- Avec 9000 perles on peut donc faire 180 colliers
- 9000 X 11 ≈ 176,78
qui, même arrondi à 177, n'aurait pas donné le bon nombre de colliers.